8.1 概率空间与条件概率：先写模型，再更新判断
监控系统报告“异常命中率 99%”时，这个数字可能指召回率、精确率，也可能只是历史样本准确率。概率计算之前，必须先说明随机试验、事件和条件信息。
概率空间
概率空间写作：
(Ω, 𝔽, P)Ω：全部可能结果的样本空间；𝔽：允许讨论的事件集合；P：为事件赋概率的函数。
有限样本空间中常把所有子集都当事件。一般概率空间需要事件族包含 Ω，并对补集和可数并封闭，以避免给任意病态子集都强行赋概率。
概率满足 Kolmogorov 公理：
P(A)≥0
P(Ω)=1
若可数个 A_i 两两互斥，P(⋃A_i)=ΣP(A_i)由此推出：
P(Aᶜ)=1-P(A)
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)“有利结果/全部结果”需要等可能
公平六面骰：
P(偶数)=3/6=1/2这个计数公式依赖六个点数等可能。若骰子有偏，事件概率应是各结果概率之和，不能只数元素个数。
软件流量也通常不均匀：10 种请求类型不代表每类概率 1/10。用测试用例数量代替生产分布，会得到错误的期望故障率。
条件概率
已知事件 B 发生，且 P(B)>0：
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)它把样本空间限制到 B，再看其中有多少也属于 A。
乘法公式：
P(A∩B)=P(A|B)P(B)多个事件的链式法则：
P(A₁∩...∩A_n)
=P(A₁)P(A₂|A₁)...P(A_n|A₁∩...∩A_{n-1})不放回抽样的后续概率会随前面结果改变，正适合链式计算。
使用上面写成条件概率的链式形式时，各条件前缀必须有正概率。若某个前缀概率为零，联合事件也为零，但后续的条件概率商可能没有定义。
全概率公式
若 B₁,...,B_k 两两互斥、并集为 Ω，且概率非零：
P(A)=Σ_i P(A|B_i)P(B_i)例如请求来自 Web、Mobile、Batch 三类入口，总超时率是各入口超时率按流量占比加权，而不是三个百分比的简单平均。
Bayes 定理
P(B_i|A)
=P(A|B_i)P(B_i)
/ Σ_j P(A|B_j)P(B_j)在全概率划分的条件下，还要求观察事件 P(A)>0。Bayes 定理交换的是条件方向，本身不证明事件之间的因果关系。下面用一组假设的监控参数：
故障基础率 P(D)=0.001
告警召回率 P(+|D)=0.99
假阳性率 P(+|¬D)=0.02发出告警后确有故障的概率：
P(D|+)
=0.99·0.001 /
(0.99·0.001 + 0.02·0.999)
≈0.0472约 4.7%。这表示该模型下的告警精确率，而非总体准确率。按 100000 个同分布窗口的期望数量理解，会有 99 个真告警与 1998 个误告警；99/(99+1998) 正是上述比例。下面的 Python 3 示例以分数核对数值：
from fractions import Fraction
base = Fraction(1, 1000)
recall = Fraction(99, 100)
false_positive = Fraction(2, 100)
true_alert = recall * base
false_alert = false_positive * (1 - base)
posterior = true_alert / (true_alert + false_alert)
print(f"{float(posterior):.4%}") # 4.7210%独立与互斥完全不同
事件 A,B 独立：
P(A∩B)=P(A)P(B)若 P(B)>0，等价于 P(A|B)=P(A)。
互斥则是：
A∩B=∅两个概率都为正的互斥事件不独立，因为知道 A 发生会让 B 概率变成 0。
两两独立不自动推出相互独立。三个事件可能任意两者独立，三者联合却有约束。
例如独立公平位 X,Y 与 Z=X XOR Y：任意一对同时为 1 的概率都是 1/4，各位为 1 的边际概率都是 1/2，但三者同时为 1 不可能。直接枚举四个等可能结果：
from itertools import product
from fractions import Fraction
outcomes = [(x, y, x ^ y) for x, y in product((0, 1), repeat=2)]
def probability(predicate):
return Fraction(sum(predicate(row) for row in outcomes), len(outcomes))
for i, j in [(0, 1), (0, 2), (1, 2)]:
assert probability(lambda row: row[i] == row[j] == 1) == Fraction(1, 4)
print(probability(lambda row: row == (1, 1, 1))) # 0, rather than 1/8.条件独立
若 P(C)>0，在给定 C 后：
P(A∩B|C)=P(A|C)P(B|C)共享原因会造成边际相关，却可能在分层后消失。例如设机房断电概率为 0.01，断电时两个服务必定都失败；不断电时，两者独立以 0.01 概率失败。每个服务的边际故障率为 0.01+0.99×0.01=0.0199，联合故障率为 0.01+0.99×0.01²=0.010099，远大于边际概率乘积 0.00039601。这里的条件独立来自明确假设，不能仅因“控制了一个变量”就自动认定。
朴素 Bayes 分类器假设特征在类别条件下独立，这常是近似建模选择，不是数据自然保证。
概率树检查依赖
袋中 3 红 2 蓝，不放回取两次。第二次红的概率：
P(R₂)=P(R₂|R₁)P(R₁)+P(R₂|B₁)P(B₁)
=2/4·3/5 + 3/4·2/5
=3/5对称性也能直接说明任一位置是红球的边际概率均为 3/5。条件分支展示了两次抽取不独立。
模型假设要可审查
计算故障概率前应写明：
- 时间窗口；
- 请求是独立抽样还是突发相关；
- 数据来自哪个人群或流量层；
- 缺失和重试如何处理；
- 观察事件是否改变系统；
- 概率是主观先验、历史频率还是模型预测。
同一个公式不会修复样本偏差和错误因果假设。
完成检查
- 用概率树计算不放回取两球同色的概率；
- 构造两个互斥但不独立的事件；
- 构造三个两两独立但不相互独立的事件；
- 为告警系统写出基础率、召回率、假阳性率和阳性预测值；
- 用全概率公式聚合三个流量入口的超时率。