2.2 幂集、笛卡尔积与基数：集合怎样构造新空间
权限管理员带来三项基础权限，阿花却发现真正要审计的是它们可能形成的全部授权组合。
一个服务有 read、write、delete 三项权限。单个权限集合只有三个元素，但可能的授权组合有八种。集合既能筛选已有对象，也能构造“所有子集”“所有配对”和“所有映射”的新空间。
幂集：所有子集组成的集合
集合 A 的幂集记为：
𝒫(A) = {B | B ⊆ A}若：
A = {read, write}则：
𝒫(A) = {
∅,
{read},
{write},
{read, write}
}注意层次：
read ∈ A
{read} ∈ 𝒫(A)
{read} ⊆ A但 read 通常不是 𝒫(A) 的元素，因为幂集的元素本身是集合。
为什么 n 个元素有 2ⁿ 个子集
构造子集时，每个元素只有两个独立选择：加入或不加入。n 个元素产生：
2 × 2 × ... × 2 = 2ⁿ也可以把每个子集编码成长度为 n 的位向量：
权限顺序：[read, write, delete]
000 -> ∅
001 -> {delete}
010 -> {write}
011 -> {write, delete}
...
111 -> {read, write, delete}这解释了为什么 30 个彼此独立的布尔特性就有超过十亿种组合。测试策略不能指望穷举全部组合，必须利用约束、覆盖准则或生成式方法缩小空间。
特征函数把子集变成布尔函数
给定 B ⊆ A，定义特征函数：
χ_B : A → {0,1}
χ_B(x) = 1 当 x ∈ B
χ_B(x) = 0 当 x ∉ B每个子集对应一个从 A 到 {0,1} 的函数，反之亦然。因此：
𝒫(A) 与 {0,1}^A 一一对应位图、权限掩码和布尔特征向量都利用了这种对应。编码方便不代表语义自然：超过机器字宽、权限需要层级或将来要插入新位时，还要处理版本和兼容性。
有序对与笛卡尔积
集合无序，但有序对 (a,b) 区分第一、第二位置。通常：
(a,b) = (c,d) ⇔ a=c ∧ b=d集合 A 与 B 的笛卡尔积：
A × B = {(a,b) | a∈A ∧ b∈B}例如：
A={alice,bob}
B={read,write}
A×B={
(alice,read), (alice,write),
(bob,read), (bob,write)
}一个授权关系可以是 A×B 的子集：只保留真正允许的用户—权限配对。第 5 章会把“关系就是笛卡尔积的子集”系统展开。
有限集合满足：
|A × B| = |A| · |B|多个输入维度相乘会形成组合爆炸。配置矩阵、跨浏览器测试和参数化查询都要警惕未经约束的全笛卡尔积。
集合族与索引并交
有时要对不止两个集合运算。令集合族由索引集 I 标记：
{A_i | i ∈ I}它们的并与交写作：
⋃_{i∈I} A_i = {x | ∃i∈I, x∈A_i}
⋂_{i∈I} A_i = {x | ∀i∈I, x∈A_i}例如多个角色的权限并集表示用户拥有任一角色授予的权限；交集表示所有角色共同拥有的权限。
空索引集上的并集通常定义为空集；空索引集上的交集需要相对于给定论域理解为全集。这与逻辑中空析取为假、空合取为真的约定相呼应。
基数比较不只靠“数完”
有限集合的基数 |A| 是元素个数。无限集合不能逐个数完，但可以用双射比较大小。
若存在双射 f:A→B，则 A 与 B 等势，记作：
|A| = |B|自然数集合 ℕ 与偶数集合 2ℕ 等势，因为：
f(n)=2n它既是单射又是满射。偶数看似只占自然数“一半”，但无限基数的直觉不同于有限比例。
能与 ℕ 建立双射的集合称为可数无限。整数 ℤ 和有理数 ℚ 都可数；实数 ℝ 不可数。
Cantor 定理：幂集严格更大
对任意集合 A，不存在从 A 到 𝒫(A) 的满射，因此：
|A| < |𝒫(A)|证明使用对角构造。假设 f:A→𝒫(A) 是满射，定义：
D = {x∈A | x∉f(x)}因为假设满射，应存在 d∈A 使 f(d)=D。问 d∈D 吗？
d∈D ⇔ d∉f(d) ⇔ d∉D产生矛盾，所以这样的满射不存在。
这不仅是一个技巧。它说明即使从无限集合出发，取全部子集仍得到严格更大的无限层次。
完成检查
给定 A={a,b,c}、B={0,1}：
- 写出
𝒫(A)； - 用位向量为每个子集编码；
- 写出
A×B与B×A，说明它们是否相等； - 把一个用户权限关系写成
Users×Permissions的子集； - 解释为什么 20 个独立开关有
2²⁰种配置； - 用一句话说明 Cantor 对角集合
D为什么不可能出现在f的值域中。