8.2 随机变量、期望与方差：平均值之外还有分布
两个接口平均延迟都为 100 ms，一个稳定在 90–110 ms，另一个多数 20 ms、偶尔 5 秒。均值相同不代表用户体验或容量风险相同；必须看随机变量的完整分布。
随机变量是函数
随机变量 X 把样本结果映射为数值：
X:Ω→ℝ抛两次硬币，X 可定义为正面次数：
HH→2, HT→1, TH→1, TT→0随机的是样本结果；X 是确定映射。
PMF、PDF 与 CDF
离散随机变量的概率质量函数：
p_X(x)=P(X=x)连续随机变量用密度 f_X(x)，单点概率通常为 0，区间概率由积分给出。
累积分布函数适用于两者：
F_X(x)=P(X≤x)CDF 单调不减、右连续，并从 0 趋近 1。分位数可由 CDF 定义，但离散分布或平坦区间可能使分位数不唯一，需要采用约定。
几个基础分布
Bernoulli
一次成功/失败：
X∈{0,1}, P(X=1)=p
E[X]=p
Var(X)=p(1-p)Binomial
n 次独立、同成功率 Bernoulli 试验的成功次数：
P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)
E[X]=np
Var(X)=np(1-p)若每次成功率不同或试验相关，就不是普通 Binomial 模型。
Geometric
独立重复试验中第一次成功所需次数。记号有“次数从 1 开始”或“失败数从 0 开始”两种约定，期望相差 1，使用前要声明。
Poisson
常用于固定区间内稀疏事件计数，参数 λ：
P(X=k)=e^{-λ}λ^k/k!
E[X]=Var(X)=λ它依赖独立增量和稳定速率等模型。真实请求常有潮汐、突发和自激，不应只因“是计数”就套 Poisson。
期望的线性性
离散情形：
E[X]=Σ_x xP(X=x)最重要的性质：
E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c不要求 X、Y 独立。
用指示变量计数很方便。随机排列 n 个元素，令 I_i 表示第 i 个元素仍在原位：
E[I_i]=1/n固定点总数 X=ΣI_i：
E[X]=ΣE[I_i]=n·1/n=1无需计算各指示变量之间的依赖。
方差度量波动
Var(X)=E[(X-E[X])²]
=E[X²]-E[X]²标准差：
σ_X=√Var(X)线性变换：
Var(aX+b)=a²Var(X)两个变量之和：
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)独立变量协方差为 0，于是方差相加；反方向一般不成立，零协方差不保证独立。
相关系数归一化线性关联，但相关为 0 也可能存在强非线性关系。
尾部和分位数
P99 延迟是使约 99% 观测不超过该值的分位数估计。它不等于“最慢 1% 的平均值”，也不说明 99% 每时每刻都满足。
平均值对极端值敏感；中位数更稳健；高分位展示尾部，但需要足够样本，且聚合方式会影响结果。
不能把各机器 P99 简单平均得到全局 P99。正确方法通常是合并可加的分布摘要或原始直方图，再计算总体分位数；摘要精度和桶边界也要说明。
Markov 与 Chebyshev 不等式
对非负随机变量 X 和 a>0：
P(X≥a)≤E[X]/a这是 Markov 不等式，只用均值给尾部上界，通常较松。
若方差有限：
P(|X-μ|≥kσ)≤1/k²这是 Chebyshev 不等式，不要求正态分布。更多分布假设或独立性可以得到更紧的 Chernoff/Hoeffding 界。
上界不等于预测实际尾概率；它提供在有限信息下保证不会超过的范围。
随机算法的成本
期望运行时间：
E[T]不等于每次都在该时间内完成。还应看尾概率、最坏情况和随机性来源。
随机化快速排序在适当随机模型下期望 Θ(n log n)，最坏仍为 Θ(n²)。随机打乱若有偏或可被攻击者预测，期望分析的假设可能失效。
完成检查
- 写出两次抛硬币正面数的 PMF 与 CDF；
- 用指示变量求随机选 5 人中某类成员的期望数；
- 构造同均值、不同方差的两个离散分布；
- 解释为什么全局 P99 不能由实例 P99 平均得到；
- 用 Markov 或 Chebyshev 给一个尾概率上界，并说明它为什么可能很松。