11.2 积分与数值积分：从局部速率到累计总量

监控系统每分钟记录一次请求速率，业务却问一天处理了多少请求；概率模型给出的是密度，产品却关心某个区间内发生事件的概率。两类问题都在把局部速率累积成总量。

本课目标

• 区分不定积分与定积分；
• 用微积分基本定理连接导数和积分；
• 理解概率密度、累计量与面积的关系；
• 比较矩形法、梯形法和采样误差。

1. 定积分是和的极限

取 $a<b$，把区间 $[a,b]$ 切成许多小段，在每段取一个样本点 $x_i^{\ast }$，形成黎曼和：

$$\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\mathrm{\Delta }{x}_i.$$

当最大子区间长度趋于零，若所有取点方式的和趋向同一极限，就得到定积分：

$${\int }_a^{b}f(x)dx.$$

若 $f(x)\ge 0$，它就是曲线与横轴间的面积。函数在横轴下方时贡献为负，因此定积分不是无条件的几何面积。

单位检查很有帮助：若 $f(t)$ 的单位是“请求/秒”，$dt$ 的单位是秒，积分结果就是请求数。

2. 不定积分是一族原函数

若 $F^{\prime }(x)=f(x)$，则 $F$ 是 $f$ 的一个原函数：

$$\int f(x)dx=F(x)+C.$$

$C$ 不能省略，因为导数会消去任意常数。定积分则由上下限给出一个数，不需要再加任意常数。

微积分基本定理的一组常用充分条件是：$f$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，且 $F^{\prime }=f$。此时：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),F^{\prime }=f.$$

它并不是说所有函数都有容易写出的初等原函数。许多实际积分只能用特殊函数或数值方法计算。

3. 概率密度不是点概率

本节假设随机变量 $X$ 存在密度，其密度 $p(x)$ 满足：

$$p(x)\ge 0,{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}p(x)dx=1.$$

区间概率为：

$$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}p(x)dx.$$

在有密度的分布中，单点概率 $P(X=x)$ 必为零，但密度 $p(x)$ 可以大于零，甚至可能大于 1。密度有单位，概率没有单位；不能把某点的密度值直接叫作“这个值发生的概率”。

累计分布函数是：

$$F(x)=P(X\le x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}p(t)dt.$$

在密度 $p$ 连续的点，有 $F^{\prime }(x)=p(x)$；一般密度下等式几乎处处成立，不能随意把它加强成逐点相等。密度在单个点上的值可以改动而不改变任何区间概率。此外，无原子的连续分布未必有密度，这里没有覆盖那种情形。

例如 $X$ 在 $[0,0.5]$ 上均匀分布时，区间内密度为 2，而 $P(0\le X\le 0.25)=2\times 0.25=0.5$。密度大于 1 没有冲突，因为真正受 1 限制的是积分后的概率。

4. 采样数据只能近似积分

若只有离散监控点，可以用梯形法：

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \sum _i\frac{f(t_i)+f(t_{i+1})}{2}(t_{i+1}-t_i).$$

from collections.abc import Sequence
from math import fsum, isfinite

def trapezoidal_integral(
    times: Sequence[float], rates: Sequence[float], max_gap=None
) -> float:
    if len(times) != len(rates) or len(times) < 2:
        raise ValueError("need equal lengths and at least two points")
    if not all(isfinite(x) for x in times) or not all(isfinite(r) for r in rates):
        raise ValueError("observations must be finite")
    gaps = [right - left for left, right in zip(times, times[1:])]
    if any(gap <= 0 for gap in gaps):
        raise ValueError("timestamps must be strictly increasing")
    if max_gap is not None:
        if not isfinite(max_gap) or max_gap <= 0:
            raise ValueError("max_gap must be positive and finite")
        if any(gap > max_gap for gap in gaps):
            raise ValueError("gap exceeds the interpolation limit")
    return fsum((left / 2 + right / 2) * gap
                for left, right, gap in zip(rates, rates[1:], gaps))

seconds = [0, 60, 120, 180]
requests_per_second = [10, 14, 13, 9]
print(trapezoidal_integral(seconds, requests_per_second, max_gap=90))  # 2190.0

这个结果依赖采样假设：相邻观测之间用直线连接。若中间发生尖峰，低频采样可能完全错过。增加算法精度不能弥补原始数据没有观测到的变化。

这份 Python 3.9+ 代码得到 180 秒内约 2,190 次请求，允许不等距采样，但拒绝 NaN、无穷值和非递增时间戳。max_gap=90 明确拒绝跨越超过 90 秒的缺口做插值；它没有偷偷把缺测当零。这个阈值要由采集频率和业务容忍度确定，练习可改成其他策略。有限输入也不保证任意巨大数值的中间运算都不会溢出。

常见数值积分方法包括：

以下阶数比较默认在固定区间上等距加密且函数足够光滑；中点法和梯形法通常是二阶，复合 Simpson 法在分段数为偶数、四阶导数有界时是四阶。自适应算法的误差估计也可能漏掉未采到的窄峰。

方法	区间内假设	特点
左/右矩形法	函数值保持不变	简单；单调函数可判断偏差方向
中点法	用中点代表区间	通常比端点矩形更准
梯形法	相邻点间线性变化	适合已有离散样本
Simpson 法	局部二次近似	对光滑函数精度更高
自适应积分	在难点处细分	控制估计误差，但成本变化

5. 误差来自不止一个地方

数值积分至少要区分：

• 建模误差：真实过程并不等于选定函数；
• 采样误差：观测频率不足，或忽略了实际不等距的时间间隔；
• 离散化误差：有限分割近似连续积分；
• 舍入误差：浮点累计造成的偏差。

缩小步长通常降低离散化误差，却增加计算量和浮点运算次数。选择方法时要结合函数平滑性、误差目标和计算预算，而不是只比较公式阶数。

对 x² 在 [0,1] 上的积分，真值为 1/3。下面用 Python 3 精确分数计算有符号误差，只在显示时转成浮点数：

from fractions import Fraction as F

for n in [4, 8, 16]:
    h = F(1, n)
    left = h * sum((i * h) ** 2 for i in range(n))
    midpoint = h * sum(((i + F(1, 2)) * h) ** 2 for i in range(n))
    trapezoid = left + h / 2  # f(1) - f(0) = 1
    print(n, f"{float(left-F(1,3)):.6f}",
          f"{float(midpoint-F(1,3)):.6f}", f"{float(trapezoid-F(1,3)):.6f}")
# 4 -0.114583 -0.005208 0.010417
# 8 -0.059896 -0.001302 0.002604
# 16 -0.030599 -0.000326 0.000651

分段数翻倍时，中点与梯形误差缩为四分之一。本例梯形误差恰为 1/(6n²)，中点误差为 -1/(12n²)；左矩形误差主要按 1/n 缩小。误差阶描述加密趋势，不保证任意函数、任意网格都遵循这组数字。

6. 在软件系统中看见积分

• 请求速率随时间积分得到请求总数；
• 功率随时间积分得到能量；
• 概率密度在区间积分得到概率；
• 速度随时间积分得到位移；
• 连续现金流贴现后积分得到现值。

有些系统用计数器直接记录累计量，比对速率曲线再积分更可靠。但计数器会重置、溢出或丢失，仍需处理数据质量。数学工具不能替代对采集机制的理解。

常见误区

• 积分永远是正面积：定积分带符号。
• 密度值就是概率：连续分布的区间概率才由密度积分得到。
• 采样更密就一定更准：传感器偏差和模型误差不会自动消失。
• 有解析公式就无需数值考虑：公式在浮点实现中仍可能溢出、消减或精度不足。

练习

1. 由速度 $v(t)=3t^2$ 求 $t=0$ 到 $t=2$ 的位移。
2. 用矩形法和梯形法近似 ${\int }_0^1{x}^{2}dx$，比较不同步长的误差。
3. 解释为什么[0,1] 上的均匀分布落在 [0,0.5] 的概率是 0.5，但任一单点概率是零。
4. 为监控积分代码增加缺测区间策略，并说明它隐含的业务假设。

小结

导数把整体过程切到局部，积分把局部速率重新累积为总量。计算机面对的是有限样本和有限精度，因此数值积分的答案总要连同采样方式、近似方法与误差假设一起解释。

后续优化内容会把局部坡度用于选择更新方向，并继续处理步长、噪声与停止条件。