Math B 组合与概率

组合与概率模块处理有限选择怎样计数，以及随机结果怎样建模。先确定样本空间与重复规则，再动手算；阶乘很勤快，也很会替错误假设加班。

先修知识

• 理解集合、函数和基本证明；不熟悉时先看 Math A 离散数学 的相关章节。
• 会做代数运算并读简单 Python 程序。概率与数论会从定义开始，遇到求和符号时先写出前几项即可。

覆盖内容

第 6 章处理计数与生成函数，第 7 章讨论图、路径和网络流，第 8 章建立概率与统计推断，第 9 章进入整数、模运算和密码学中的数学问题。

第 6 章

• 6.1 计数原则：加法、乘法、容斥与抽屉原理
• 6.2 排列、组合与重复选择：顺序和重复是否重要
• 6.3 生成函数：把计数序列编码成代数对象

第 7 章

• 7.1 图的模型与遍历：先定义边，再选择表示
• 7.2 路径、连通、树与最短路：不同权重需要不同算法
• 7.3 DAG、强连通分量与网络流：从依赖排序到资源分配

第 8 章

• 8.1 概率空间与条件概率：先写模型，再更新判断
• 8.2 随机变量、期望与方差：平均值之外还有分布
• 8.3 抽样与统计推断：从观测数据到有限结论

第 9 章

• 9.1 整除、同余与 Euclid 算法：整数的基本结构
• 9.2 模逆、快速幂与中国剩余定理
• 9.3 素数、因数分解与 RSA 数学边界

学完能做什么

• 判断计数是否考虑顺序与重复，并用小规模枚举检查公式。
• 把依赖、路径或资源分配问题建成图，选择符合边权与结构的算法。
• 说明概率模型和抽样结论的前提，完成基本的同余、模逆与快速幂计算。

怎样使用这份目录

可以按问题进入任一章，但先确认用到的集合和证明概念。计数题算出一个很大的数时，先用两个或三个对象验算；概率题先写样本空间。数论中的小整数实验用于理解数学关系，不能直接当作可部署的密码系统。